Persamaangaris b seperti tampak pada gambar adalah · · · · A. 2 y = x-1 B. 2 y =-x-1 C. 2 y = x + 1 D. 2 y =-x + 1 24. Diketahui titik A (4, 10), B (-1, p), dan C (2, 2) terletak pada satu garis lurus. Nilai p adalah · · · · A.-10 B.-5 C. 5 D. 10 25. Empat di antara lima titik (2, 4), (4, 7), (7, 10), (10, 16), dan (16, 25) membentuk Persamaangaris lurus yang melalui titik (6, -3) dan tegak lurus garis 2x + 3y - 5 = 0 adalah A. 3/2 x - 3 B. y = 3/2 x - 6 C. 3/2 x - 9 D. 3/2 x - 12. Pembahasan / penyelesaian soal. Persamaan garis diatas dapat diubah bentuknya menjadi seperti dibawah ini: 2x + 3y - 5 = 0; 3y = -2x + 5; y = -2/3x + 5/3; Jadi kita ketahui m 1 P adalah proyeksi titik P pada garis g jika dan hanya jika P' terletak pada garis g dan ̅̅̅̅̅' tegak lurus dengan garis g. ⬚ Gambar 1.2 Koordinat Titik P Perhatikan Gambar 1.2 di atas. Misalkan P adalah sebuah titik sebarang pada bidang datar maka P 1 adalah proyeksi titik P pada sumbu- T dan P 2 adalah Fast Money. Yuk simak 13+ persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah Sedangkan persamaan kedua adalah persamaan garis lurus yang melalui dua titik yaitu A x 1 y 1 dan titik B x 2 y 2. Persamaaan grafik fungsi seperti tampak pada gambar adalah. Misalnya untuk menggambar y 2x -3 cukup ketikkan saja 2x-3 atau y2x-3 secara langsung akan terbentuk gambar dari persamaan garis tersebut seperti tampak pada gambar berikut. Pelajari jugaseperti dan persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah Soal dapat diunduh dalam format PDF melalui tautan berikut. Misalkan titik yang dilalui adalah A x fi y 2 dan B x 2 y 2. Seperti yang Anda lihat pada Gambar 1 layar program GeoGebra terdiri atas beberapa bagian. Y a bx dimana a adalah penggal garisnya pada sumbu vertikal y sedangkan b adalah koefisien arah atau gradien garis yang bersangkutan. Cara Menentukan Gradien Garis Saling Tegak Lurus Contoh Soal Cara Menentukan Gradien Garis Saling Tegak Lurus Luas trapesium ABCD seperti tampak pada gambar adalah A 40 B 46 C 48 D 50 E 50 from AA file DocUkuran file 725kbUkuran kertas soal FolioTanggal pembuatan soal Desember 2019 Jumlah soal Cara Menentukan Gradien Garis Saling Tegak Lurus 281 Halaman Lihat Cara Menentukan Gradien Garis Saling Tegak LurusVersi terakhir pada saat ini adalah GeoGebra 30 dapat digambarkan dengan x 0 yang memberikan nilai y b. Swindoll Hidup adalah 10 hal yang terjadi pada. Persamaan garis c adalah - Brainlycoid Persamaan Garis B Seperti Tampak Pada Gambar Disamping Adalah - Tempat Berbagi Gambar Persamaan garis p seperti tampak pada gambar adalah A. Alam Modul Pertama ini kita akan membahas tentang Sistem. Persamaan garis singgung Adalah. Dengan menggunakan GeoGebra garis dapat dengan mudah dibuat dari sebuah persamaan garis. Contoh soal persamaan garis lurus. Soal Dan Pembahasan Super Lengkap Gradien Dan Persamaan Garis Lurus Mathcyber1997 Contoh Soal Soal Dan Pembahasan Super Lengkap Gradien Dan Persamaan Garis Lurus Mathcyber1997 Jika dike- tahui dua titik yang dilalui garis lurus tersebut maka langkah-langkah menentukan persamaan garis lurus adalah sebagai file PDFUkuran file kertas soal LetterTanggal pembuatan soal Agustus 2019 Jumlah soal Soal Dan Pembahasan Super Lengkap Gradien Dan Persamaan Garis Lurus Mathcyber1997 334 Halaman Lihat Soal Dan Pembahasan Super Lengkap Gradien Dan Persamaan Garis Lurus Mathcyber1997 Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai gradien dan persamaan garis lurus yang dianjurkan untuk dipelajari oleh siswa tingkat SMPSederajat terutama untuk menguatkan pemahaman konsep dan persiapan ulangan semester. Persamaan Garis B Seperti Tampak Pada Gambar Adalah Brainly Co Id Contoh Soal Persamaan Garis B Seperti Tampak Pada Gambar Adalah Brainly Co Id Dan garis lurus dapat dinyatakan dalam berbagai file PNGUkuran file kertas soal A4Tanggal pembuatan soal Oktober 2020 Jumlah soal Persamaan Garis B Seperti Tampak Pada Gambar Adalah Brainly Co Id 270 Halaman Lihat Persamaan Garis B Seperti Tampak Pada Gambar Adalah Brainly Co Id Cukup mengetikkan persamaan garisnya gambar akan langsung terbentuk. Soal Dan Pembahasan Matematika Latihan 4 2 Kelas 8 Bab Persamaan Garis Lurus Kedai Mipa Contoh Soal Soal Dan Pembahasan Matematika Latihan 4 2 Kelas 8 Bab Persamaan Garis Lurus Kedai Mipa Persamaan garis lurus yaitu perbandingan antara koordinat x dan y dari 2 titik yang terletak pada suatu garis file DocxUkuran file kertas soal A3Tanggal pembuatan soal Mei 2018 Jumlah soal Soal Dan Pembahasan Matematika Latihan 4 2 Kelas 8 Bab Persamaan Garis Lurus Kedai Mipa 131 Halaman Lihat Soal Dan Pembahasan Matematika Latihan 4 2 Kelas 8 Bab Persamaan Garis Lurus Kedai Mipa Aktivitas Belajar Persamaan Lingkaran dan Garis Singgungnya. Posisi Garis Dalam Bidang Koordinat Cartesius Contoh Soal Posisi Garis Dalam Bidang Koordinat Cartesius Pada sumbu Y seperti yang tampak pada Gambar file JPGUkuran file 3mbUkuran kertas soal HVSTanggal pembuatan soal Agustus 2020 Jumlah soal Posisi Garis Dalam Bidang Koordinat Cartesius 212 Halaman Lihat Posisi Garis Dalam Bidang Koordinat Cartesius Rumus kemiringan-titik potong suatu garis ditulis sebagai y mxb yaitu m adalah tingkat kemiringan dan b adalah titik potong-y titik pada garis yang memotong sumbu y. Persamaan Garis B Seperti Tampak Pada Gambar Adalah Brainly Co Id Contoh Soal Persamaan Garis B Seperti Tampak Pada Gambar Adalah Brainly Co Id Berikut ini adalah beberapa rumus untuk menyatakan persamaan garis lurus file DocxUkuran file kertas soal A3Tanggal pembuatan soal April 2021 Jumlah soal Persamaan Garis B Seperti Tampak Pada Gambar Adalah Brainly Co Id 298 Halaman Lihat Persamaan Garis B Seperti Tampak Pada Gambar Adalah Brainly Co Id Masukkan nilai m dalam rumus kemiringan-titik potong dengan angka yang sebelumnya diperoleh. Matematika Kelas 2 Smp Mencari Kemiringan Gradien Pada Garis Lurus Nata Privat Les Privat Bandung Jabodetabek Bentuk umum persamaan linier adalah. Persamaan Garis P Seperti Tampak Pada Gambar Adalah Brainly Co Id Contoh Soal Persamaan Garis P Seperti Tampak Pada Gambar Adalah Brainly Co Id Banyak pohon pinus yang dibutuhkan adalah file DocUkuran file 800kbUkuran kertas soal A3Tanggal pembuatan soal September 2017 Jumlah soal Persamaan Garis P Seperti Tampak Pada Gambar Adalah Brainly Co Id 250 Halaman Lihat Persamaan Garis P Seperti Tampak Pada Gambar Adalah Brainly Co Id Dengan menggunakan GeoGebra garis dapat dengan mudah dibuat dari sebuah persamaan garis. Geometri Analitik Ruang Contoh Soal Geometri Analitik Ruang Persamaan garis singgung file PDFUkuran file kertas soal HVSTanggal pembuatan soal Oktober 2017 Jumlah soal Geometri Analitik Ruang 164 Halaman Lihat Geometri Analitik Ruang Ini dapat digambarkan dengan x 0 yang memberikan nilai y b. Contoh Soal Cara Menghitung Jarak Titik Ke Garis Pada Kubus Persamaan Hiperbola Dan Unsur Unsurnya Konsep Matematika Koma Persamaan Blog Soal Dan Pembahasan Super Lengkap Gradien Dan Persamaan Garis Lurus Mathcyber1997 Sekian Post mengenai persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah, Persamaan hiperbola dan unsur unsurnya konsep matematika koma persamaan blog posisi garis dalam bidang koordinat cartesius soal dan pembahasan super lengkap gradien dan persamaan garis lurus mathcyber1997 matematika kelas 2 smp mencari kemiringan gradien pada garis lurus nata privat les privat bandung jabodetabek soal dan pembahasan super lengkap gradien dan persamaan garis lurus mathcyber1997 05 cara menggambar grafik fungsi linear atau persamaan garis lurus soal dan pembahasan matematika latihan 4 2 kelas 8 bab persamaan garis lurus kedai mipa geometri analitik ruang, semoga membantu. Disclaimer Images, articles or videos that exist on the web sometimes come from various sources of other media. Copyright is fully owned by the source. If there is a problem with this matter, you can contact 1. Definisi Isometri Dalam Geometri Transformasi dikenal beberapa transformasi diantaranya Pergeseran, Rotasi, dan Pencerminan. Pada tiga transformasi ini, ukuran dan bentuk bangun yang telah mengalami transformasi tidak berubah. Hal ini menghasilkan istilah baru bahwa ketiga transformasi itu disebut transformasi yang isometri, suatu istilah yang berasal dari bahasa Yunani yang berarti ”sama luas”. Definisi Misalkan T suatu transformasi , transformasi T ini disebut isometri jika dan hanya jika untuk setiap pasangan titik P dan Q anggota dari bidang Euclides V berlaku dimana dan . Untuk memahami definisi di atas perhatikan contoh berikut Misalkan garis pada bidang dan transformasi ditetapkan sebagai berikut i. Jika maka ii. Jika maka Apakah transformasi T ini merupakan suatu isometri? Penyelesaian Ambil dua titik sembarang dan anggota misalkan dan , sehingga diperoleh a. g sumbu dari , misalkan , maka b. g sumbu dari , misalkan , maka Perhatikan gambar berikut ini Kemudian pandang dengan . Karena , siku-siku, dan , maka =. Akibatnya a. b. Sekarang pandang dengan . Karena, , dan , maka =. Akibatnya Karena dan di ambil sembarang titik pada dapat di simpulkan bahwa untuk setiap pasangan titik dan pada ,diperoleh sehingga transformasi yang ditetapkan di atas adalah suatu isometri. Contoh lain Asumsi bahwa sebuah sistem koordinat membangun suatu bidang datar dan pemetaan didefinisikan untuk suatu titik oleh . Maka dapat ditunjukan bahwa suatu transformasi menunjukan suatu isometri, ambil sepasang titik dan bayangan masing-masing dan kemudian buktinya bahwa Dengan rumus jarak diperoleh Karena itu, adalah isometri. 2. Sifat-sifat Isometri Suatu pencerminan atau refleksi pada sebuah garis adalah suatu transformasi yang mengawetkan jarak atau juga dinamakan suatu isometri. Selain mengawetkan jarak antara dua titik, suatu isometri memiliki sifat-sifat seperti yang tertuang dalam teorema berikut. Teorema 1 Setiap Isometri bersifat a. memetakan garis menjadi garis b. mengawetkan besarnya sudut antara dua garis c. mengawetkan kesejajaran dua garis Bukti a. memetakan garis menjadi garis Andaikan g sebuah garis dan T suatu isometri. Kita akan membuktikan bahwa adalah suatu garis juga. Ambil dan . Maka, , melalui dan ada satu garis misalnya . Akan kita buktikan , untuk itu akan dibuktikan dan . i. Bukti Ambil . Oleh karena bidang kita adalah bidang Euclides. Kita andaikan artinya, . Oleh karena suatu isometri, jadi T suatu transformasi maka ada sehingga dan oleh karena suatu isometri maka begitu pula . Jadi pula . Ini berarti bahwa segaris pada dan . Sehingga sebab bukti serupa berlaku untuk posisi dengan atau . ii. Bukti Ambil lagi . Maka ada sehingga dengan misalnya ., artinya dan . Oleh karena sebuah isometri maka , , . Sehingga . Ini berarti bahwa segaris, yaitu melalui dan . Oleh karena satu-satunya garis yang melalui dan maka . Jadi haruslah . Bukti serupa berlaku untuk keadaan atau Sehingga . Jadi jika sebuah garis maka adalah sebuah garis. b. mengawetkan besarnya sudut antara dua garis Ambil sebuah . Andaikan , , . Menurut sifat a, maka dan adalah garis lurus. Oleh karena maka sedangkan , , . Sehingga . Jadi . Sehingga suatu isometri mengawetkan besarnya sebuah sudut. c. mengawetkan kesejajaran dua garis Kita harus memperlihatkan bahwa // . Andaikan memotong di sebuah titik , jadi dan . Oleh karena sebuah transformasi maka ada sehingga dengan dan . Ini berarti bahwa memotong di , jadi bertentangan dengan yang diketahui bahwa //.Maka pengandaian bahwa memotong salah. Jadi haruslah // . Sehingga suatu isometri mengawetkan kesejajaran dua garis. Akibat Salah satu akibat dari sifat b teorema 1 ialah bahwa jika dua buah garis misalkan a dan b dimana maka dengan sebuah isometri. Bukti Dipunyai akan ditunjukkan . Andaikan Ta tidak tegak lurus dengan Tb maka terapat sudut antara Ta dengan Tb yang tidak sama dengan 90o. Karena isometri mengawetkan besarnya sudut antara dua garis maka sudut yang dibentuk oleh a dan b tidak sama dengan 90o. Hal ini kontradiksi dengan . Jadi pengandaian harus dibatalkan. Artinya . Jadi apabila maka dengan T sebuah isometri. Teorema 2 Komposisi dua buah isometri adalah isometri Bukti Ambil dua isometri, namakan dengan dan , terjadilah komposisi dari dan . Yaitu dan . Dalam uraian ini akan ditunjukkan salah satu saja . Ambil dua titik sembarang , misalkan , dan , , berdasarkan pemisalan ini dapat dicari Karena isometri maka dan karena isometri pula . Karena dan , maka . Jadi suatu isometri. Soal Latihan 1. Diketahui garis-garis s, t, u dan titik A,B seperti dapat dilihat pada gambar di bawah ini. adalah sebuah isometri dengan dan . Jika lukislah ! 2. Diketahui garis dan . Tulislah sebuah persamaan garis ! 3. Diketahui lima garis g, g’, h, h’, dan k sehingga dan . Apabila buktikan ! 4. Diketahui garis-garis g,h, dan h’ sehingga apakah ungkapan di bawah ini benar? a. Jika maka . b. Jika maka . c. Jika , maka . 5. Jika dan , selidikilah apakah terletak pada garis . Pembahasan 1. , . Karena maka dan T isometri, maka atau . Gambar 2. Diketahui garis dan Gambar Karena sebuah refleksi pada , maka merupakan isometri. Jadi, menurut teorema ”sebuah isometri memetakan garis menjadi garis”, dan , maka adalah sebuah garis. Titik merupakan titik potong antara garis dan sumbu . Titik merupakan titik potong antara garis dan . Jadi dan . Karena maka Jadi akan melalui titik , dan akan melalui § Koordinat titik g x + 2y = 1 x + 2y – 1 = 0, h x = -1 substitusikan x = -1 ke persamaan garis g x + 2y = 1, diperoleh -1 + 2y – 1 = 0 2y = 2 y = 1 Jadi § Koordinat titik Titik adalah titik potong dengan sumbu . Karena isometri maka Jadi, Misal titik Absis titik adalah Diperoleh dan Jadi, Jadi, g’ melalui titik C-1,1 dan Persamaan garis g’ Jadi, 3. Diketahui Andaikan g tidak sejajar h, maka menurut teorema, bahwa isometri mengawetkan kesejajaran 2 garis, diperoleh tidak sejajar dengan . Padahal diketahui bahwa , maka pengandaian harus dibatalkan, artinya . 4. Diketahui garis-garis , , dan sehingga a. Jika maka . Jadi benar jika maka . b. Jika maka . Jadi benar jika maka . c. Jika , maka . Jadi benar jika , maka . 5. Jika g = {x,y y = -x} dan h = {x,y 3y = x + 3} Gambar Karena sebuah refleksi pada maka merupakan isometri. Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan , maka adalah sebuah garis. Titik merupakan titik potong antara garis g dan h. Jadi, dan . Karena maka Jadi h’ akan melalui titik Ambil titik A0,1 dan B-3,0 karena maka dan . Jadi melalui dan . Dimana pencerminan pada garis berlaku misalkan maka bayangannya . Sehingga dan . Persamaan garis h’ Jadi persamaan garis Isometri Langsung Dan Isometri Lawan Untuk lebih memahami isometri langsung dan isometri lawan terlebih dahulu kita bahas fenomena isometri yang diperlihatkan pada gambar berikut . Pada gambar 1 tampak bahwa apabila pada segitiga ABC yang dicerminkan pada garis g dimana, urutan kelilingnya A→B→C adalah berlawanan dengan putaran jarum jam menghasilkan peta yaitu segitiga yang urutan kelilingnya →→ adalah sesuai dengan jarum jam. Pada gambar 2 dapat dilihat lihat sebagai isometri yaitu suatu rotasi putaran segitiga ABC yang mengelilingi titik O. Dimana, pada segitiga ABC urutan keliling adalah A→B→C adalah berlawanan dengan putaran jarum jam dirotasikan mengelilingi titik O yang menghasilkan peta yaitu segitiga dengan urutan keliling →→ adalah tetap berlawanan dengan putaran jarum jam. Untuk membahas lebih lanjut fenomena isometri di atas, kita gunakan konsep tiga titik yang tak segaris. Andaikan P1,P2,P3 tiga titik yang tak segaris maka melalui P1,P2 dan P3 ada tepat satu lingkaran l, kita dapat mengelilingi l berawal misalnya dari P1 kemudian sampai di P2 , P3 dan akhirnya kembali ke P1. Apabila arah keliling ini sesuai dengan putaran jarum jam maka dikatakan bahwa tiga titik P1,P2,P3 memiliki orientasi yang sesuai dengan putaran jarum jam orientasi yang negatif, apabila arah keliling itu berlawanan dengan putaran jarum jam maka dikatakan bahwa tiga titik P1,P2,P3 memiliki orientasi yang berlawanan denga putaran jarum jam orientasi yang positif, jadi pada gambar 1, A,B,C memiliki orientasi positif sedangkan A1,B1,C1memiliki orientasi yang negatif, pada gambar 2 orientasi A,B,C adalah positif dan orientasi A2,B2,C2 tetap positif, jadi pencerminan pada gambar 1 mengubah orientasi sedangkan putaran pada gambar 2 mengawetkan orientasi. Definisi 1. Suatu transformasi T mengawetkan suatu orientasi apabila untuk setiap tiga titik tak segaris ,, orientasinya sama dengan ,, dengan = T , = T , = T. 2. Suatu transformasi T membalik suatu orientasi apabila untuk setiap tiga titik yang tak segaris ,, orientasinya tidak sama dengan orientasi peta-petanya ,, dengan , , . Definisi Suatu transformasi dinamakan langsung apabila trasformasi tersebut mengawetkan orientasi, suatu transformasi disebut transformasi lawan apabila transformasi tersebut mengubah orientasi. Salah satu sifat penting dalam geometri transformasi adalah Teorema 3 Setiap refleksi pada garis adalah isometri lawan. Teorema 4 tanpa bukti, tidak setiap isometri adalah isometri lawan. Hal ini dapat dilihat pada gambar 2, dimana isometri yaitu rotasi pada titik O adalah sebuah isometri langsung. Oleh karena itu dapat kita kemukakan teorema berikut, tanpa bukti yaitu Teorema 4 Setiap isometri adalah sebuah isometri langsung atau sebuah isometri lawan. Soal Latihan 1. Pada gambar berikut, terdapat tiga titik tak segaris yaitu , , , dan adalah isometri-isometri dengan , , sedangkan , , . Termasuk golongan manakah dan itu ? 2. Isometri memetakan pada , pada dan pada , apabila sebuah isometri lawan tentukan titik ! 3. Sebuah isometri memetakan pada , pada dan pada , apabila sebuah isometri langsung tentukan . 4. Diketahui garis-garis dan dan titik-titik dan . Diketahui pula bahwa , , , dan . a. Lukislah dan ! b. Bandingkan jarak dan . Pembahasan 1. Gambar Dari gambar di atas dapat diketahui bahwa merupakan isometri lawan karena mengubah orientasi , , dan . merupakan isometri langsung karena mengawetkan orientasi , , dan . 2. Karena sebuah isometri lawan maka mengubah orientasi , , dan sehingga dipetakan sesuai dengan gambar berikut 3. Karena sebuah isometri lawan maka mengubah orientasi , , dan sehingga dipetakan sesuai dengan gambar berikut 4. a. Gambar b. Karena isometri mengawetkan jarak Maka jarak dengan = jarak dengan Jarak dengan = jarak dengan Jadi jarak = jarak Karena jarak = jarak dan jarak = jarak , maka jarak = jarak . Geometri adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari tentang bangun dan bentuk. Geometri identik dengan visualisasi gambar yang perlu dihadirkan untuk memahami bagaimana sifat-sifat bentuk dan bangun tersebut. Pada umumnya, geometri dibagi menjadi dua bagian utama, yakni geometri bangun datar dan geometri bangun ruang. Meskipun begitu, geometri sebenarnya dikaji secara luas apabila dipelajari secara lebih mendalam. Berikut ini telah disediakan sejumlah soal geometri bangun datar yang juga telah dilengkapi dengan pembahasannya untuk setiap nomor. Soal ini cocok dipelajari untuk siswa/i SMP dan SMA, terutama bagi mereka yang sedang mempersiapkan lomba. Semoga dapat membantu meningkatkan kemampuan menjelajahi dunia geometri. Quote by Confucius Mengetahui bahwa sesuatu salah, tetapi tetap melakukannya, itulah yang benar-benar disebut sebagai kesalahan. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Sebuah persegi panjang dibagi menjadi 6 persegi seperti tampak pada gambar. Panjang sisi persegi terkecil adalah 1 cm. Panjang sisi persegi terbesar adalah $\cdots \cdot$ A. $4$ cm D. $7$ cm B. $5$ cm E. $8$ cm C. $6$ cm Pembahasan Misalkan persegi yang berwarna kuning memiliki panjang sisi $x$ cm. Selanjutnya, kita peroleh panjang sisi persegi yang lain dalam $x$ seperti tampak pada gambar di atas. Perhatikan panjang dan lebar sisi persegi panjang terbesar. Lebarnya adalah $x + 2,$ sedangkan panjangnya jika dipandang dari sisi bawah adalah $x-1+x-2 = 2x-3.$ Karena persegi memiliki empat sisi yang sama panjang, kita peroleh $$\begin{aligned} x+2 & = 2x-3 \\ \Rightarrow x & = 5. \end{aligned}$$Dengan demikian, panjang sisi persegi terbesar adalah $\boxed{5 + 2 = 7~\text{cm}}$ Jawaban D [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Keliling dan Luas Bangun Datar Tingkat Lanjut Soal Nomor 2 Sebuah persegi dengan total luas $125~\text{cm}^2$ dibagi menjadi lima daerah yang sama luasnya seperti gambar. Daerah itu berupa empat persegi dan bangun datar berbentuk huruf L. Panjang sisi terpendek dari bangun datar berbentuk L tersebut adalah $\cdots$ cm. A. $1$ D. $3\sqrt5-1$ B. $1,2$ E. $3\sqrt5+1$ C. $5\sqrt5-10$ Pembahasan Karena luas total persegi besar adalah $125~\text{cm}^2,$ maka luas masing-masing daerah adalah $125 \div 5 = 25~\text{cm}^2.$ Ini menunjukkan bahwa panjang sisi persegi adalah $5~\text{cm}.$ Misalkan panjang sisi terpendek dari bangun datar berbentuk L adalah $x.$ Perhatikan gambar. Luas bangun ini juga $25~\text{cm}^2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} 10x + 10+xx & = 25 \\ 10x + 10x + x^2 & = 25 \\ x^2 + 20x & = 25 \\ x+10^2-100 & = 25 \\ x+10^2 &= 125\\ x+10 & = \pm 5\sqrt5 \\ x & = \pm 5\sqrt5-10. \end{aligned}$$Karena ukuran panjang tidak mungkin bernilai negatif, maka diambil $x = 5\sqrt5-10.$ Jadi, panjang sisi terpendek tersebut adalah $\boxed{5\sqrt5-10~\text{cm}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 3 Perhatikan gambar persegi berikut. Persegi kecil yang diberi warna jingga memiliki luas yang sama. Jika panjang sisinya $1$ satuan, maka panjang sisi persegi terbesar adalah $\cdots$ satuan. A. $\sqrt2$ D. $2+2\sqrt2$ B. $2$ E. $2\sqrt2 + 4$ C. $2\sqrt2$ Pembahasan Karena panjang sisi persegi kecil adalah $1$ satuan, maka panjang diagonalnya dengan menggunakan rumus Pythagoras adalah $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt2$ satuan. Jadi, panjang sisi persegi terbesar adalah $$\boxed{1 + \sqrt2 + \sqrt2 + 1 = 2 + 2\sqrt2~\text{satuan}}$$Jawaban D [collapse] Soal Nomor 4 Dua segitiga sama sisi yang kongruen dengan keliling $24$ cm tumpang-tindih sedemikian sehingga sisi-sisinya saling sejajar. Keliling segi enam yang terbentuk dari irisan kedua segitiga itu adalah $\cdots \cdot$ A. $11$ cm D. $16$ cm B. $12$ cm E. $18$ cm C. $14$ cm Pembahasan Perhatikan bahwa posisi kedua segitiga tersebut membentuk beberapa daerah yang berbentuk segitiga sama sisi. Kita misalkan panjang sisinya masing-masing $a, b,$ dan $c$ seperti tampak pada gambar. Karena keliling segitiga sama sisi yang besar adalah $24$ cm, maka panjang sisinya adalah $24 \div 3 = 8$ cm. Permisalan sebelumnya menunjukkan bahwa $a + b + c = 8$ cm. Sekarang perhatikan segi enam yang terbentuk. Kelilingnya adalah jumlah panjang semua sisinya, yaitu $$\boxed{2a + 2b + 2c = 2a + b + c = 28 = 16~\text{cm}}$$Jawaban D [collapse] Soal Nomor 5 Segitiga $PQR$ adalah segitiga siku-siku di $P$ dengan $PQ = 2$ dan $PR = 2\sqrt3.$ Garis tinggi $PL$ memotong garis berat $RM$ di titik $F.$ Panjang $PF$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{\sqrt3}{2}$ D. $\dfrac{4\sqrt3}{9}$ B. $\dfrac{3\sqrt3}{7}$ E. $\dfrac{5\sqrt3}{7}$ C. $\dfrac{4\sqrt3}{7}$ Pembahasan Misalkan segitiga $PQR$ tersebut diletakkan pada bidang koordinat Kartesius sedemikian sehingga titik $P$ berada di titik asal $0, 0.$ Dengan demikian, diperoleh $Q2, 0, M1, 0,$ dan $R0, 2\sqrt3.$ Kita akan mencari koordinat $F$ dengan terlebih dahulu mencari persamaan garis $MR$ dan $PL.$ Persamaan garis $MR$ Karena $M1, 0$ dan $R0, 2\sqrt3,$ maka persamaan garisnya adalah $1y + 2\sqrt3x = 12\sqrt3$ atau disederhanakan menjadi $y + 2\sqrt3x = 2\sqrt3.$ Persamaan garis $PL$ Perhatikan bahwa $PL \perp QR.$ Gradien garis $QR$ adalah $m_{QR} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{-2\sqrt3}{2} = -\sqrt3.$ Persamaan garis yang tegak lurus dengannya, yaitu $PL,$ bergradien $m_{PL} = -\dfrac{1}{m_{QR}} = \dfrac{1}{\sqrt3}.$ Persamaan garis yang melalui titik $P0,0$ dan bergradien $m_{QR} = \dfrac{1}{\sqrt3}$ adalah $$\begin{aligned} y-y_1 & = mx-x_1 \\ y-0 & = \dfrac{1}{\sqrt3}x-0 \\ y & = \dfrac13\sqrt3x. \end{aligned}$$ Kita peroleh dua persamaan berikut. $$\begin{cases} y + 2\sqrt3x & = 2\sqrt3 \\ y & = \dfrac13\sqrt3x \end{cases}$$Selesaikan dengan metode substitusi. $$\begin{aligned} y + 2\sqrt3x & = 2\sqrt3 \\ \Rightarrow \dfrac13\sqrt3x + 2\sqrt3x & = 2\sqrt3 \\ \dfrac73\sqrt3x & = 2\sqrt3 \\ x & = \dfrac67 \end{aligned}$$Akibatnya, $y = \dfrac{6}{7\sqrt3}.$ Jadi, koordinat $F$ adalah $\left\dfrac67, \dfrac{6}{7\sqrt3}\right.$ Panjang $PF$ dapat dicari dengan rumus Pythagoras karena kedua titik ujungnya telah diketahui koordinatnya. $$\begin{aligned} PF & = \sqrt{\left\dfrac67-0\right^2+\left\dfrac{6}{7\sqrt3}-0\right^2} \\ & = \sqrt{\dfrac{36}{49}+\dfrac{36}{49 \cdot 3}} \\ & = \sqrt{\dfrac{4 \cdot 36}{49 \cdot 3}} \\ & = \dfrac{12}{7\sqrt3} \\ & = \dfrac{4\sqrt3}{7} \end{aligned}$$Jadi, panjang $PF$ adalah $\boxed{\dfrac{4\sqrt3}{7}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 6 $PA$ adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $O.$ Jika $PC$ membagi dua sudut $APB$ sama besar, maka berapakah besar sudut $ACP$? A. $30^\circ.$ C. $50^\circ.$ E. $75^\circ.$ B. $45^\circ.$ D. $60^\circ.$ Pembahasan Tarik garis dari $O$ ke $A.$ Karena $PA$ merupakan garis singgung lingkaran, maka $OA \perp PA.$ Perhatikan juga bahwa $AB$ dan $AO$ menghadap busur yang sama sehingga sudut pada $AO$ nilainya dua kali dari sudut pada $AB.$ Kita lakukan permisalan seperti yang tampak pada gambar berikut. Pada $\triangle ACP$ dan $\triangle BCP$ berturut-turut berlaku $$\begin{aligned} \angle A + x + p & = 180^\circ && \cdots 1 \\ \alpha + y + p & = 180^\circ && \cdots 2 \end{aligned}$$Jumlahkan kedua persamaan itu sehingga didapat $$\begin{aligned} \angle A + \alpha + x + y + 2p & = 360^\circ \\ \angle A + \alpha + 180^\circ + 2p & = 360^\circ \\ \angle A + \alpha + 2p & = 180^\circ. \end{aligned}$$Pada $\triangle AOP$ berlaku $$\begin{aligned} 90^\circ + 2a + 2p & = 180^\circ \\ 2a + 2p & = 90^\circ \\ a + p & = 45^\circ \\ \alpha & = 45^\circ-p. \end{aligned}$$Selanjutnya, pada $\triangle ABP$ berlaku $$\begin{aligned} \angle A + \alpha + 2p & = 180^\circ \\ \angle A + 45^\circ-p + 2p & = 180^\circ \\ \angle A + p & = 135^\circ. \end{aligned}$$Substitusi hasil ini ke persamaan $1.$ $$\begin{aligned} \angle A + x + p & = 180^\circ \\ \angle A + p + x & = 180^\circ \\ 135^\circ + x & = 180^\circ \\ x & = 45^\circ \end{aligned}$$Jadi, besar sudut $ACP$ adalah $\boxed{45^\circ}$ Jawaban B [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Lingkaran Tingkat SD Soal Nomor 7 Dua segi enam beraturan yang sama diletakkan di dalam sebuah jajaran genjang seperti tampak pada gambar. Berapa perbandingan jumlah luas kedua segi enam terhadap luas jajaran genjang? A. $1 2$ D. $2 3$ B. $1 3$ E. $2 5$ C. $1 4$ Pembahasan Bagilah jajaran genjang beserta segi enam dengan ruas-ruas garis sehingga diperoleh sejumlah segitiga sama sisi seperti tampak pada gambar. Ada $24$ segitiga sama sisi pembentuk jajaran genjang, sedangkan ada $12$ segitiga sama sisi pembentuk segi enam. Jadi, perbandingan jumlah luas kedua segi enam terhadap luas jajaran genjang adalah $\boxed{12 24 = 1 2}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 8 Gambar di bawah merupakan segi delapan oktagon beraturan. Jika luas daerah yang diarsir adalah $6$ satuan luas, maka luas segi delapan tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $18$ D. $24$ B. $21$ E. $28$ C. $22$ Pembahasan Pada segi delapan beraturan, panjang delapan sisinya sama. Kita misalkan sebagai $x.$ Perhatikan sketsa gambar berikut. Daerah yang diarsir adalah trapesium sama kaki. Panjang sisi siku segitiga dapat dicari dengan menggunakan rumus Pythagoras. $$\begin{aligned} a^2 + a^2 & = x^2 \\ 2a^2 & = x^2 \\ a^2 & = \dfrac{x^2}{2} \\ a & = \sqrt{\dfrac{x^2}{2}} = \dfrac{x}{\sqrt2} \end{aligned}$$Karena luas trapesium daerah yang diarsir adalah $6$ satuan luas, maka kita peroleh $$\begin{aligned} \text{Luas trapesium} & = 6 \\ 2 \cdot \text{Luas segitiga} + \text{Luas persegi panjang} & = 6 \\ 2 \cdot \dfrac12 \cdot \left\dfrac{x}{\sqrt2}\right^2 + \dfrac{x}{\sqrt2} \cdot x & = 6 \\ \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^2}{\sqrt2} & = 6 \\ x^2 \left\dfrac12 + \dfrac12\sqrt2\right & = 6 \\ x^2 & = \dfrac{6}{\dfrac12 + \dfrac12\sqrt2} \\ x & = \dfrac{12}{1 + \sqrt2}. \end{aligned}$$Luas segi delapan dapat dicari jika diketahui panjang sisinya $x$, yaitu $\boxed{L = 2x^2\sqrt2 + 1}$ $$\begin{aligned} \text{Luas segitiga-8} & = 2x^2\sqrt2+1 \\ & = 2\left\dfrac{12}{\cancel{1 + \sqrt2}}\right\cancel{\sqrt2+1} \\ & = 212 = 24 \end{aligned}$$ Jadi, luas segi delapan itu adalah $24$ satuan luas. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 9 $ABCDEF$ adalah segi enam beraturan dengan $M$ dan $N$ terletak di tengah sisi yang saling berhadapan seperti tampak pada gambar. Jika luas segi enam ini adalah $120,$ maka hasil kali nilai panjang $AD$ dan $MN$ adalah $\cdots \cdot$ A. $200$ D. $140$ B. $180$ E. $100$ C. $160$ Pembahasan segi enam beraturan tersusun dari 6 segitiga sama sisi seperti tampak pada gambar. Misalkan panjang sisinya adalah $x.$ Diketahui bahwa luas segi enam adalah $120,$ sehingga luas segitiga sama sisi adalah $\dfrac{120}{6} = 20.$ Dengan menggunakan rumus luas segitiga menurut sinus, diperoleh $$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \dfrac12ab \sin \theta \\ 20 & = \dfrac12xx \sin 60^\circ \\ 20 & = \dfrac12x^2 \cdot \dfrac12\sqrt3 \\ x^2 & = \dfrac{80}{\sqrt3}. \end{aligned}$$Panjang $MN$ sama dengan dua kalinya panjang $M$ ke $O$ titik tengah segi enam yang juga merupakan tinggi segitiga sama sisi tersebut. Untuk itu, kita dapat menggunakan rumus Pythagoras untuk mencarinya. $$\begin{aligned} MN & = 2MO \\ & = 2 \cdot \sqrt{x^2-\left\dfrac{x}{2}\right^2} \\ & = 2 \cdot \dfrac12x\sqrt3 \\ & = x\sqrt3 \end{aligned}$$Panjang $AD$ jelas adalah $x + x = 2x.$ Kita peroleh $$\begin{aligned} AD \cdot MN & = 2x \cdot x\sqrt3 \\ & = 2x^2\sqrt3 \\ & = 2 \cdot \dfrac{80}{\cancel{\sqrt3}} \cdot \cancel{\sqrt3} \\ & = 160. \end{aligned}$$Jadi, hasil kali nilai panjang $AD$ dan $MN$ adalah $\boxed{160}$ Jawaban C [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Lingkaran Tingkat SMP Soal Nomor 10 Pada gambar berikut, $ABCDEF$ adalah segi enam beraturan dengan $P$ di tengah $AB$ serta $Q$ dan $R$ berturut-turut adalah titik potong $PD$ dan $PE$ terhadap diagonal $CE.$ Berapakah perbandingan luas segitiga $PFR$ dan luas trapesium $EDQR$? A. $\dfrac12$ C. $\dfrac14$ E. $\dfrac34$ B. $\dfrac13$ D. $\dfrac23$ Pembahasan Misalkan $x$ adalah panjang sisi segi enam, titik $O$ adalah titik tengah segi enam, dan titik $S$ adalah titik tengah $ED.$ $\triangle AOB$ adalah segitiga sama sisi. Karena $P$ berada di tengah $AB,$ kita peroleh bahwa $PB = \dfrac12x$ dan $BO = x.$ Dengan menggunakan rumus Pythagoras, $$\begin{aligned} PO & = \sqrt{BO^2-PB^2} \\ & = \sqrt{x^2-\dfrac14x^2} \\ & = \dfrac12\sqrt3x. \end{aligned}$$Karena segi enam ini beraturan, maka panjang $PO$ sama dengan panjang $OS.$ Perhatikan bahwa $\triangle PRQ$ dan $\triangle PED$ sebangun karena ketiga sudutnya sama besar. Karena tinggi $\triangle PED$ dua kali lipatnya dan $ED = x,$ maka $RQ = \dfrac12x.$ Panjang $FC = x + x = 2x$ sehingga $FR = QC = \dfrac{2x-\dfrac12x}{2} = \dfrac34x.$ Luas $\triangle PFR$ sekarang dapat dicari. $$\begin{aligned} L_{\triangle PFR} & = \dfrac12 FRPO \\ & = \dfrac12 \cdot \dfrac34x \cdot \dfrac12\sqrt3x \\ & = \dfrac{3}{16}\sqrt3x \end{aligned}$$Luas trapesium $EDQR$ juga dapat dicari. $$\begin{aligned} L_{EDQR} & = \dfrac{ED+RQ}{2} \cdot OS \\ & = \dfrac{x + \dfrac12x}{2} \cdot \dfrac12\sqrt3x \\ & = \dfrac34x \cdot \dfrac12\sqrt3x \\ & = \dfrac38\sqrt3x^2 \end{aligned}$$Dengan demikian, perbandingan luas keduanya dinyatakan sebagai berikut. $$\begin{aligned} L_{\triangle PFR} L_{EDQR} & = \dfrac{3}{16}\cancel{\sqrt3x^2} \dfrac38\cancel{\sqrt3x^2} \\ & = \dfrac{3}{16} \dfrac38 \\ & = \dfrac{3}{16}16 \dfrac3816 \\ & = 3 6 \\ & = 1 2 \end{aligned}$$Jadi, perbandingan luas segitiga dan trapesium tersebut adalah $\boxed{\dfrac12}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 11 Pada gambar berikut, $ABCD$ adalah trapesium sama kaki, sedangkan $X$ dan $Y$ terletak tepat di tengah-tengah sisi $AD$ dan $BC.$ Jika luas daerah yang diarsir adalah $28~\text{cm}^2,$ maka berapakah luas $ABCD$? A. $30$ C. $42$ E. $56$ B. $35$ D. $48$ Pembahasan Posisikan titik $O$ sehingga $XO \perp OD,$ titik $P$ sehingga $AP \perp PX,$ dan $Q$ sehingga $XQ \perp QD$ seperti tampak pada gambar. Perhatikan bahwa $\angle AXP = \angle QXD$ karena merupakan pasangan sudut yang saling berseberangan. Diketahui juga $\angle XQD = \angle APX = 90^\circ$ sehingga sudut ketiga pasti memiliki besar yang sama pula. Karena ada satu sisi yang sama panjang, yaitu $AX = XD,$ maka $\triangle APX$ dan $\triangle XQD$ kongruen sehingga $AP = QD$ dan $PX = XQ.$ Jadi, kita bisa memindahkan $\triangle APX$ ke $\triangle XQD,$ begitu juga dengan segitiga di sebelah kanan sisi trapesium. Kita peroleh bahwa luas trapesium akan sama dengan $2$ kali luas daerah yang diarsir, yakni $\boxed{28 \times 2 = 56~\text{cm}^2}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 12 Pada gambar berikut, $PQRS$ merupakan persegi dengan panjang sisi $2$ cm. Diketahui bahwa $\triangle QRM$ dan $\triangle SRN$ merupakan segitiga sama sisi. Berapakah panjang $MN$? A. $5\sqrt2$ D. $2\sqrt2$ B. $4\sqrt2$ E. $\sqrt2$ C. $3\sqrt2$ Pembahasan Tarik garis $MN$ sehingga diperoleh segitiga $MNR.$ Perhatikan bahwa $SR = RQ = 2$ sehingga $MR = RN = 2$ karena merupakan sisi dari segitiga sama sisi yang kongruen. Jika titik baru $O$ diposisikan sedemikian rupa sehingga $MRNO$ merupakan persegi, maka $MN$ adalah diagonalnya. Dengan menggunakan rumus Pythagoras, panjang $MN$ sama dengan $\boxed{\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt2}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 13 Dua setengah lingkaran semicircles digambarkan seperti berikut. Tali busur $CD$ yang panjangnya $8$ sejajar dengan diameter $AB$ dari setengah lingkaran yang besar. Tali busur tersebut menyinggung setengah lingkaran kecil. Luas daerah yang diarsir adalah $\cdots \cdot$ A. $6\pi$ C. $10\pi$ E. $16\pi$ B. $8\pi$ D. $12\pi$ Pembahasan Misalkan titik $O$ adalah titik pusat setengah lingkaran besar. Tarik garis penghubung $OC$ dan $OD$ yang merupakan jari-jari setengah lingkaran besar seperti tampak pada gambar. Segitiga $COD$ merupakan segitiga siku-siku di $O.$ Dengan demikian, kita bisa mencari nilai $R$ panjang jari-jari setengah lingkaran besar dengan menggunakan rumus Pythagoras. $$\begin{aligned} OC^2 + OD^2 & = CD^2 \\ R^2 + R^2 & = 8^2 \\ 2R^2 & = 64 \\ R^2 & = 32 \end{aligned}$$Misalkan $r$ adalah panjang jari-jari setengah lingkaran kecil. Luas segitiga $COD$ dapat kita tentukan dengan menggunakan prinsip kesamaan alas dan tinggi. $$\begin{aligned} \cancel{\dfrac12} \cdot R \cdot R & = \cancel{\dfrac12} \cdot r \cdot CD \\ 32 & = r \cdot 8 \\ r & = 4 \end{aligned}$$Luas daerah yang diarsir sama dengan selisih luas setengah lingkaran besar dan lingkaran kecil. $$\begin{aligned} L_{\text{arsir}} & = L_{\text{besar}}-L_{\text{kecil}} \\ & = \dfrac12 \pi R^2 -\dfrac12 \pi r^2 \\ & = \dfrac12\piR^2-r^2 \\ & = \dfrac12\pi32-4^2 \\ & = 8\pi \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{8\pi}$ Jawaban B [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Garis Singgung Lingkaran Tingkat SMP Soal Nomor 14 Gambar berikut menunjukkan juring sector lingkaran dengan satu lingkaran dalam incircle. Perbandingan panjang jari-jarinya adalah $3 1.$ Perbandingan luas juring lingkaran terhadap lingkaran dalam tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $2 1$ D. $5 2$ B. $3 2$ E. $5 3$ C. $4 3$ Pembahasan Misalkan panjang jari-jari lingkaran dalam adalah $r$ dan juring lingkaran adalah $R = 3r.$ Titik $O$ diposisikan pada titik pusat lingkaran dalam dan $2\theta$ adalah besar sudut juring lingkaran tersebut. Perhatikan segitiga siku-siku $ABO.$ Diketahui bahwa $OB = r$ dan $AO = R-r = 3r-r = 2r.$ Menurut perbandingan trigonometri sinus, kita peroleh $$\begin{aligned} \sin \theta & = \dfrac{OB}{AO} \\ \sin \theta & = \dfrac{r}{2r} = \dfrac12. \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $\theta = 30^\circ.$ Dengan demikian, besar sudut juring lingkaran itu adalah $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ.$ Perbandingan luas juring dan lingkaran dalam dapat ditentukan. $$\begin{aligned} L_{\text{juring}} L_{\text{lingkaran dalam}} & = \dfrac{60^\circ}{360^\circ} \pi 3r^2 \pi r^2 \\ & = \dfrac16 \pi 9r^2 \pi r^2 \\ & = \dfrac32 1 \\ & = 3 2 \end{aligned}$$Jadi, perbandingan luas juring lingkaran terhadap lingkaran dalam tersebut adalah $\boxed{3 2}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 15 Pada gambar berikut, terdapat dua lingkaran dengan ukuran berbeda dan sebuah persegi dengan panjang sisi $2$ satuan. Panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $\cdots \cdot$ A. $6-4\sqrt2$ D. $2-\sqrt2$ B. $6+4\sqrt2$ E. $\sqrt2$ C. $4-2\sqrt2$ Pembahasan Misalkan titik $B$ adalah titik pusat lingkaran kecil. Buat segitiga $OAB$ yang siku-siku di $A$ seperti tampak pada gambar. Misalkan panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $r.$ Karena perseginya memiliki panjang sisi $2,$ maka kita peroleh $OA = AB = 2-r$ dan $OB = 2 + r.$ Sekarang kita gunakan rumus Pythagoras pada $\triangle OAB$ untuk mencari nilai $r.$ $$\begin{aligned} OA^2 + AB^2 & = OB^2 \\ 2-r^2 + 2-r^2 & = 2+r^2 \\ 24-4r+r^2 & = 4+4r+r^2 \\ r^2-12r+4 & = 0 \\ r-6^2-32 & = 0 \\ r-6^2 & = 32 \\ r-6 & = \pm 4\sqrt2 \\ r & = 6 \pm 4\sqrt2 \end{aligned}$$Karena $r = 6 + 4\sqrt2$ nilainya lebih dari $2$ sehingga tidak mungkin menjadi pilihan, maka kita ambil $r = 6-4\sqrt2.$ Jadi, panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $\boxed{6-4\sqrt2}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 16 Pada gambar berikut, $XY$ merupakan diameter dari lingkatan kecil dan $S$ merupakan titik yang terletak pada lingkaran kecil sekaligus merupakan titik pusat lingkaran besar. Jika panjang jari-jari lingkaran besar adalah $2$ satuan, maka luas daerah yang diarsir adalah $\cdots$ satuan luas. A. $2$ C. $6$ E. $10$ B. $4$ D. $8$ Pembahasan Posisikan titik $O$ sebagai titik pusat lingkaran kecil. Perhatikan bahwa $OY$ dan $OS$ merupakan jari-jari lingkaran kecil sehingga haruslah $OY = OS = r.$ $SY$ sendiri merupakan jari-jari lingkaran besar sehingga $R = SY = 2.$ Pada $\triangle YOS$ siku-siku di $O$, kita peroleh $r^2$ dengan menggunakan rumus Pythagoras. $$\begin{aligned} OY^2 + OS^2 & = SY^2 \\ r^2 + r^2 & = 2^2 \\ 2r^2 & = 4 \\ r^2 & = 2 \\ r & = \sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $r = \sqrt2.$ Perhatikan bahwa $SY = SX = 2$ dan $XY = 2\sqrt2$ sehingga rumus Pythagoras terpenuhi. Jadi, $\triangle SXY$ merupakan segitiga siku-siku di $S.$ Selanjutnya, cari tembereng lingkaran besar yang dibatasi oleh $XY$ terlebih dahulu. $$\begin{aligned} L_{\text{tembereng}} &= L_{\text{juring}}-L_{\triangle SXY} \\ & = \dfrac14 \pi R^2-\dfrac12SYSX \\ & = \dfrac14 \pi 2^2-\dfrac1222 \\ & = \pi-2 \end{aligned}$$Luas setengah lingkaran kecil putih adalah $L_{\frac12 O} = \dfrac12\pi r^2 = \dfrac12 \pi 2 = \pi.$ Jadi, luas daerah yang diarsir sama dengan luas lingkaran kecil dikurangi jumlahan luas tembereng dan luas setengah lingkaran kecil. $$L = \pi2-\pi-2+\pi = 2$$Dengan demikian, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{2}$ satuan luas. Jawaban A [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Teorema Pythagoras Soal Nomor 17 Pada gambar berikut, persegi panjang dengan panjang sisi $12$ cm memuat $6$ lingkaran kongruen yang diposisikan membentuk formasi segitiga sama sisi dan menyinggung sisi persegi panjang. Berapakah jarak terpendek antara dua lingkaran yang diberi arsir dalam satuan cm? A. $43\sqrt3-2$ B. $43\sqrt3-1$ C. $4\sqrt3-2$ D. $4\sqrt3-1$ E. $4\sqrt3-2$ Pembahasan Buatlah segitiga sama sisi yang melalui titik pusat keenam lingkaran seperti tampak pada gambar. Panjang jari-jari lingkaran adalah $12 \div 3 = 4$ cm. Panjang sisi segitiga tersebut adalah $4+4=8$ cm. Selanjutnya, cari tinggi segitiga $OA$ dengan menggunakan rumus Pythagoras pada $\triangle OAB.$ $$\begin{aligned} OA & = \sqrt{AB^2-OB^2} \\ & = \sqrt{8^2-4^2} \\ & = \sqrt{48} \\ & = 4\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$$Jarak terpendek kedua lingkaran yang diarsir sama dengan tinggi segitiga tersebut dikurangi dua kali panjang jari-jari lingkaran. $$\begin{aligned} \text{Jarak} & = OA-2r \\ & = 4\sqrt3-4 \\ & = 4\sqrt3-1~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, jarak yang dimaksud sejauh $\boxed{4\sqrt3-1~\text{cm}}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 18 Diberikan sebuah segitiga $\triangle ABC.$ Titik $D$ pada $AC$ sehingga $AD AC = 2 3.$ Titik $E$ pada $AB$ sehingga $AE EB = 1 2.$ Titik $F$ merupakan titik potong ruas garis $CE$ dan $BD.$ Jika diketahui luas $\triangle BFC$ adalah $12$ satuan luas, maka luas $\triangle ABC$ adalah $\cdots$ satuan luas. A. $24$ C. $40$ E. $48$ B. $36$ D. $42$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Dari perbandingan yang diberikan, kita dapat misalkan $CD = x$ sehingga $AD = 2x$ dan $AE = y$ sehingga $BE = 2y.$ Karena $\triangle AFE$ dan $\triangle BFE$ dapat dipandang sebagai dua segitiga dengan tinggi yang sama, tetapi alasnya berkelipatan, maka dapat kita misalkan luas $\triangle AFE = b$ sehingga luas $\triangle BFE = 2b.$ Prinsip serupa juga berlaku untuk luas $\triangle CFD = a$ sehingga luas $\triangle AFD = 2a.$ Dengan menggunakan perbandingan luas pada keseluruhan $\triangle ABC$ yang dibelah oleh $BD,$ kita peroleh $$\begin{aligned} \dfrac{a+12}{2a+b+2b} & = \dfrac12 \\ 2a+24 & = 2a+3b \\ 3b & = 24 \\ b & = 8. \end{aligned}$$Berikutnya, dengan menggunakan perbandingan luas pada keseluruhan $\triangle ABC$ yang dibelah oleh $CE,$ kita peroleh $$\begin{aligned} \dfrac{a+2a+b}{2b+12} & = \dfrac12 \\ 6a+2b & = 2b+12 \\ 6a & = 12\\ a & = 2. \end{aligned}$$Luas $\triangle ABC$ sama dengan $$\begin{aligned} 12+a+2a+b+2b & = 12+3a+b \\ & = 12+32+8 \\ & = 42~\text{satuan luas}. \end{aligned}$$Jawaban D [collapse] Soal Nomor 19 Pada segitiga $ABC,$ titik $D$ membagi sisi $AC$ sehingga $AD DC = 1 2.$ Misalkan $E$ adalah titik tengah $BD$ dan $F$ adalah titik potong garis $BC$ dan perpanjangan garis $AE.$ Jika luas segitiga $ABC$ adalah $720,$ maka luas segitiga $EBF$ adalah $\cdots \cdot$ A. $180$ C. $80$ E. $40$ B. $120$ D. $60$ Pembahasan Diketahui $L_{\triangle ABC} = 720.$ Karena $D$ pada $AC$ sehingga $AD DC = 1 2,$ maka $$\begin{aligned} L_{\triangle ABD} & = \dfrac{1}{3} \cdot L_{\triangle ABC} = \dfrac13720 = 240 \\ L_{\triangle CBD} & = 720-240 = 480. \end{aligned}$$Selanjutnya perhatikan $\triangle CBD.$ Karena $E$ berada di tengah $BD,$ maka $BE = ED$ yang berakibat $CE$ membelah $\triangle CBD$ menjadi dua bagian yang sama luasnya, yaitu $\dfrac12480 = 240.$ Jika $L_{\triangle EBF} = x,$ maka $L_{\triangle ECF} = 240-x.$ Perhatikan gambar berikut agar lebih jelas. Dengan menggunakan perbandingan luas segitiga dengan satu cevian yang sama, yaitu $EF,$ kita peroleh $$\begin{aligned} \dfrac{L_{\triangle EBF}}{L_{\triangle ABF}} & = \dfrac{L_{\triangle ECF}}{L_{\triangle ACF}} \\ \dfrac{x}{120+x} & = \dfrac{240-x}{120+240+240-x} \\ \dfrac{x}{120+x} & = \dfrac{240-x}{600-x} \\ x600-x & = 120+x240-x \\ -x^2+600x & = \\ 480x & = \\ x & = 60. \end{aligned}$$Jadi, luas segitiga $EBF$ adalah $\boxed{60}$ Catatan Cevian adalah ruas garis yang ditarik dari salah satu titik sudut segitiga ke sisi segitiga di hadapannya. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 20 Pada gambar di bawah, beberapa garis sejajar dibuat sehingga membagi dua sisi segitiga menjadi 10 ruas yang sama panjangnya. Berapakah persentase luas daerah yang diberi warna biru terhadap luas keseluruhan segitiga? A. $41,75\%$ D. $46\%$ B. $42,5\%$ E. $48\%$ C. $45\%$ Pembahasan Perhatikan gambar berikut. Misalkan luas $\triangle ABC = 1.$ Karena ketiga sudut pada $\triangle ADE$ bersesuaian dengan sudut pada $\triangle ABC,$ maka kedua segitiga ini sebangun. Panjang alas dan tinggi $\triangle ADE$ dua kali lipatnya dari $\triangle ABC$ sehingga luas $\triangle ADE = 22 = 4.$ Jika prinsip ini dilanjutkan, kita peroleh luas segitiga berikutnya adalah $9, 16, 25, 36, \cdots, 100.$ Persentase luas daerah yang diberi warna biru terhadap luas keseluruhan segitiga adalah sebagai berikut. $$\begin{aligned} \text{Persentase Luas} & = \dfrac{1 + 9-4 + 25-16 + 36-25 + 64-49 +100-81}{100} \times 100\% \\ & = 1 + 5 + 9 + 11 + 17\% \\ & = 45\% \end{aligned}$$Jawaban C [collapse] Soal Nomor 21 Diberikan suatu persegi panjang dengan lebar $4.$ Di dalamnya terdapat satu lingkaran besar dan dua lingkaran kecil yang kongruen. Setiap lingkaran saling bersinggungan satu sama lain dan menyinggung sisi-sisi persegi panjang. Panjang persegi panjang tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $6$ D. $4\sqrt3$ B. $3\sqrt2$ E. $6\sqrt2$ C. $4\sqrt2$ Pembahasan Misalkan $O$ dan $P$ berturut-turut adalah titik pusat lingkaran besar dan kecil, sedangkan $Q$ adalah titik singgung kedua lingkaran kecil. Karena lebar persegi panjang $4,$ maka diameter lingkaran besar juga $4$ sehingga jari-jarinya memiliki panjang $2,$ sedangkan lingkaran kecil memiliki panjang jari-jari $1.$ Kita peroleh $AP = 2+1 = 3$ dan $PQ = 1$ sehingga dengan menggunakan rumus Pythagoras, didapat $$\begin{aligned} OQ & = \sqrt{OP^2-PQ^2} \\ & = \sqrt{3^2-1^2} \\ & = 2\sqrt2. \end{aligned}$$Jadi, panjang persegi panjang adalah $$\begin{aligned} AB & = AO + OQ + QB \\ & = 2 + 2\sqrt2 + 1 \\ & = 3 + 2\sqrt2. \end{aligned}$$Jawaban B [collapse] Soal Nomor 22 Sejumlah lingkaran diposisikan sedemikian rupa sehingga titik pusatnya merupakan titik sudut suatu persegi. Ada dua lingkaran besar dan dua lingkaran kecil yang masing-masing kongruen seperti tampak pada gambar. Berapakah rasio panjang jari-jari lingkaran besar terhadap lingkaran kecil? A. $1$ D. $2$ B. $\sqrt2$ E. $2,5$ C. $1 + \sqrt2$ Pembahasan Misalkan panjang jari-jari lingkaran besar dan kecil berturut-turut adalah $y$ dan $x.$ Buat segitiga siku-siku yang titik sudutnya berada di pusat lingkaran seperti tampak pada gambar. Segitiga siku-siku ini memiliki panjang sisi $x + y, x + y,$ dan $y + y = 2y.$ Dengan menggunakan rumus Pythagoras, kita peroleh $$\begin{aligned} x + y^2 + x + y^2 & = 2y^2 \\ 2x + y^2 & = 22y^2 \\ x + y^2 & = 2y^2 \\ x + y & = \pm y\sqrt2. \end{aligned}$$Karena $x + y$ menyatakan jumlah panjang jari-jari lingkaran yan g nilainya jelas tidak mungkin negatif, maka ambil $x + y = y\sqrt2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} y\sqrt2-y & = x \\ y\sqrt2-1 & = x \\ \dfrac{y}{x} & = \dfrac{1}{\sqrt2-1} \\ \dfrac{y}{x} & = \dfrac{1}{\sqrt2-1} \cdot \dfrac{\sqrt2+1}{\sqrt2+1} \\ \dfrac{y}{x} & = \sqrt2+1. \end{aligned}$$Jadi, rasio panjang jari-jari lingkaran besar terhadap lingkaran kecil adalah $\boxed{1+\sqrt2}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 23 Persegi panjang $ABCD$ dibagi menjadi sembilan persegi panjang kecil. Bilangan di dalamnya menunjukkan keliling masing-masing persegi panjang. Keliling persegi panjang $ABCD$ adalah $\cdots \cdot$ A. $23$ C. $46$ E. $92$ B. $24$ D. $48$ Pembahasan Misalkan panjang setiap sisi persegi panjang kecil disimbolkan dengan $a, b, c, d, e,$ dan $f$ seperti gambar di bawah. Dari sini, kita tahu bahwa $$\begin{cases} 2b + d & = 11 && \cdots 1 \\ 2a + e & = 20 && \cdots 2 \\ 2b + e & = 8 && \cdots 3 \\ 2c +e & = 11 && \cdots 4 \\ 2b+f & = 12 && \cdots 5 \end{cases}$$Jumlahkan persamaan $4$ dan $5$, kemudian gunakan persamaan $3$ untuk memperoleh $$\begin{aligned} 2b + e + c + f & = 23 \\ \color{red}{2b + e} + 2c + f & = 23 \\ 8 + 2c + f & = 23 \\ 2c + f & = 15.\end{aligned}$$Keliling persegi panjang $ABCD$ dinyatakan sebagai berikut. $$\begin{aligned} k_{ABCD} & = 2a + b + c + d + e + f \\ & = 2b + d + 2a + e + 2c + f \\ & = 11 + 20 + 15 \\ & = 46 \end{aligned}$$Jadi, keliling persegi panjang $ABCD$ adalah $\boxed{46}$ Jawaban C [collapse] Garis Bagi Soal Nomor 1 Diketahui $\triangle ABC$ siku-siku di $B.$ Garis $CD$ merupakan garis bagi yang ditarik dari titik sudut $C.$ Jika panjang $AB = BC = 6$ cm, maka panjang $AD = \cdots$ cm. A. $6-3\sqrt2$ B. $6+3\sqrt2$ C. $12-6\sqrt2$ D. $12+6\sqrt2$ E. $18+6\sqrt2$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Karena $\triangle ABC$ siku-siku, maka rumus Pythagoras berlaku. $$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2+BC^2} \\ & = \sqrt{6^2+6^2} \\ & = 6\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}$$Misalkan panjang $AD = x$ cm sehingga berakibat $DB = 6-x$ cm. Dengan menggunakan teorema perbandingan oleh garis bagi, kita peroleh $$\begin{aligned} \dfrac{AD}{DB} & = \dfrac{AC}{BC} \\ \dfrac{x}{6-x} & = \dfrac{\cancel{6}\sqrt2}{\cancel{6}} \\ x & = 6\sqrt2-\sqrt2x \\ 1+\sqrt2x & = 6\sqrt2 \\ x & = \dfrac{6\sqrt2}{1+\sqrt2} \\ x & = \dfrac{6\sqrt21-\sqrt2}{-1} \\ x & = \sqrt2-16\sqrt2 \\ x & = 12-6\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, panjang $AD$ adalah $\boxed{12-6\sqrt2~\text{cm}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 2 Diketahui segitiga siku-siku sama kaki $ABC$ dengan sudut siku-siku di $C.$ $D$ adalah titik pada $BC$ sehingga $AD$ adalah garis bagi. Perbandingan luas $\triangle ABD$ dan $\triangle ABC$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\sqrt2$ B. $\sqrt2+1$ C. $\sqrt2-1$ D. $2\sqrt2-1$ E. $2-\sqrt2$ Pembahasan Karena $\triangle ABC$ sama kaki, maka $AC = BC = x.$ Teorema Pythagoras juga berlaku karena segitiga tersebut siku-siku. $$\begin{aligned} AB & = \sqrt{AC^2+BC^2} \\ & = \sqrt{x^2+x^2} \\ & = x\sqrt2 \end{aligned}$$Menurut teorema perbandingan oleh garis bagi, berlaku bahwa $$\dfrac{CD}{DB} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{x}{x\sqrt2} = \dfrac{1}{\sqrt2}.$$Oleh karena itu, didapat $$\begin{aligned} \dfrac{L_{\triangle ABD}}{L_{\triangle ABC}} & = \dfrac{\cancel{\frac12} \cdot DB \cdot \bcancel{AC}}{\cancel{\frac12} \cdot BC \cdot \bcancel{AC}} \\ & = \dfrac{DB}{BC} \\ & = \dfrac{DB}{CD + DB} \\ & = \dfrac{\sqrt2}{1+\sqrt2} \\ & = -\sqrt21-\sqrt2 \\ & = 2-\sqrt2. \end{aligned}$$Jadi, perbandingan kedua segitiga tersebut adalah $\boxed{2-\sqrt2}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 3 Pada gambar berikut, $\angle ABC$ dan $\angle ECD$ siku-siku serta $AD$ adalah garis bagi $\angle CAB.$ Jika panjang $AB$ adalah $21$ dan $CD$ adalah $28,$ maka berapakah panjang $BE$? A. $\sqrt7$ D. $15$ B. $3\sqrt7$ E. $21$ C. $7$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. $AD$ merupakan garis bagi sehingga $\angle BAE = \angle CAD.$ Perhatikan bahwa $\triangle ABE$ dan $\triangle DCE$ sebangun berdasarkan kesamaan ketiga sudutnya. Oleh karena itu, berlaku perbandingan $\dfrac{BE}{EC} = \dfrac{AB}{CD} = \dfrac{21}{28} = \dfrac34.$ Misalkan $BE = 3x$ dan $EC = 4x.$ Segitiga $ABC$ siku-siku sehingga rumus Pythagoras berlaku untuk mencari panjang $AC.$ $$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2+BC^2} \\ & = \sqrt{21^2+7x^2} \end{aligned}$$Menurut teorema perbandingan oleh garis bagi, berlaku $$\begin{aligned} \dfrac{AC}{CE} & = \dfrac{AB}{BE} \\ \dfrac{\sqrt{21^2 + 7x^2}}{4x} & = \dfrac{21}{3x} \\ \sqrt{21^2 + 7x^2} & = 74 \\ \sqrt{3^2 + x^2} & = 4 \\ 9 + x^2 & = 16 \\ x & = \sqrt7. \end{aligned}$$Jadi, panjang $BE$ adalah $\boxed{3x = 3\sqrt7}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 4 $ABC$ adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-sikunya di $B.$ Jika $AD$ adalah garis bagi pada sudut $A$ dan membagi $BC$ menjadi dua bagian sedemikian sehingga $BD = 2$ dan $CD = 3,$ maka panjang $AD = \cdots \cdot$ A. $2\sqrt3$ D. $4\sqrt2$ B. $2\sqrt5$ E. $4\sqrt3$ C. $2\sqrt6$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. $AD$ merupakan garis bagi pada sudut $A$ sehingga $\angle BAD = \angle DAC.$ Menurut teorema perbandingan oleh garis bagi, berlaku $$\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac23.$$Misalkan $AB = 2x$ dan $AC = 3x$ untuk suatu $x \in \mathbb{R}^+.$ Perhatikan bahwa $\triangle ABC$ siku-siku sehingga berlaku rumus Pythagoras. $$\begin{aligned} AC^2 & = AB^2 + BC^2 \\ 3x^2 & = 2x^2 + 2+3^2 \\ 9x^2 & = 4x^2 + 25 \\ 5x^2 & = 25 \\ x^2 & = 5 \end{aligned}$$Perhatikan juga bahwa $\triangle ABD$ siku-siku sehingga berlaku rumus Pythagoras. $$\begin{aligned} AD^2 & = AB^2 + BD^2 \\ & = 2x^2 + 2^2 \\ & = 4x^2 + 4 \\ & = 45 + 4 \\ & = 24 \\ AD & = \sqrt{24} = 2\sqrt6 \end{aligned}$$Jadi, panjang $AD$ adalah $\boxed{2\sqrt6}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 5 Pada segitiga $ABC,$ $ED$ adalah garis bagi $\angle BDA$ dan $DF$ adalah garis bagi $\angle ADC.$ Jika $AE = 3,$ $BE = 7,$ $BD = 3DC,$ dan $AC = 32,$ maka panjang $FC = \cdots \cdot$ A. $16$ D. $11$ B. $14$ E. $10$ C. $12$ Pembahasan Misalkan $DC = x$ sehingga $BD = 3x.$ Misalkan juga $FC = y$ sehingga $AC = 32-y.$ Pada $\triangle ABD,$ $ED$ merupakan garis bagi $\angle BDA$ sehingga berlaku teorema perbandingan oleh garis bagi berikut. $$\begin{aligned} \dfrac{BE}{EA} & = \dfrac{BD}{DA} \\ \dfrac73 & = \dfrac{3x}{DA} \\ DA & = \dfrac{9x}{7} \end{aligned}$$Hal yang sama juga berlaku pada $\triangle ADC$ oleh garis bagi $DF.$ $$\begin{aligned} \dfrac{AF}{FC} & = \dfrac{DA}{DC} \\ \dfrac{32-y}{y} & = \dfrac{\frac{9x}{7}}{x} \\ \dfrac{32-y}{y} & = \dfrac97 \\ 9y & = 327-7y \\ 16y & = 327 \\ y & = 27 = 14 \end{aligned}$$Jadi, panjang $FC$ adalah $\boxed{14}$ Jawaban B [collapse]

persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah